بخش هایی از تحقیق دانشجویان

توابـع و انـواع آن

فاطمه عباسپور، زهرا صارم

کاردان فنی زراعت - گیاهان دارویی

دانشگاه : مرکز آموزش عالی امام خمینی (ره) جهاد کشاورزی کرج

استاد:

عزت‌الله فریدنیا

1392

تاریخچه

مفهوم تابع در طول زمان تغییر کرده و تصور امروزی درباره ی تابع، به تدریج و در طول زمان به دست آمده است. برای نخستین بار، مقدار متغیر در سده‌ی هفدهم و در کارهای فرما (1601-1665) و دکارت، ریاضیدان فرانسوی، در نوشته‌های هندسی پدید آمد. برای نمونه، دکارت در کتاب "هندسه"ی خود در سال 1637، مفهوم تابع را به عنوان تغییر عرض در نتیجه‌ی تغییر طول بررسی می‌کند. نیوتن هم از مفهوم تابع استفاده می‌کند. او در سال 1671، تابع را به معنای تغییر مقداری که در جریان زمان پیش می‌آید می‌فهمید. حتی نیوتن برای تابع، نامی هم برگزید:"فلوانت". نیوتن می‌نویسد:"من فلوانت را به مقدار متغیری می‌گیرم که در جریان زمان، به تدریج رشد کند...."اصطلاح "تابع "را برای نخستین بار لایب نیتس در سال 1694 به کار برد. او تابع را به عنوان پاره خطی در نظر می‌گرفت که طول آن، بنابر قانون معینی تغییر کند. در سده‌ی هجدهم، با دیدگاه تازه‌ای نسبت به تابع روبرو هستیم. در این زمان، با تابع به عنوان دستوری که مقدار یک متغیر را با متغیر دیگر در نظر می گرفت، مواجهیم. این یک دیدگاه به اصطلاح تحلیلی درباره‌ی مفهوم تابع است. تعریف تحلیلی تابع را برای نخستین بار"یوهان برنولی"(1667-1748)مطرح کرد. او در سال 1718 تابع را این گونه تعریف کرد: "تابع مقدار متغیر،به مقداری گفته می‌شود که با ترتیب دلخواهی از این متغیر و مقدار ثابت تشکیل شده باشد." "لئونارد اولر" شاگرد یوهان برنولی، به صورت نهایی تعریف تابع را از دیدگاه تحلیلی در سال 1748به این ترتیب می‌دهد: "تابع یک متغیر، عبارتست از یک عبارت تحلیلی که به نحوی از این مقدار متغیر و از عددها یا مقدارهای ثابت تشکیل شده باشد." در واقع، این تعریف به چند ریاضیدان مشهور نیمه دوم سده هجدهم نیز منسوب است: لاگرانژ (1736-1813)، دالامبر (1717-1783)، فوریه (1768-1830) و دیگران. تابع را به صورتی که می تواند با یک دستور بیان شود، برای نخستین بار در سال 1834 "لباچفسکی"تعریف کرد: "این مفهوم کلی (یعنی تابع) چنین تعریف می شود: تابع x ، عدد است به شرطی که برای هر مقدار x  معلوم باشد و همراه با x به تدریج تغییر کند. مقدارهای تابع،ممکنست از یک رابطه‌ی تحلیلی بدست آید یا با آزمایش معلوم شود یا با شرط‌هایی که بازای همه عددهای x ، یک مقدار برای تابع بدست دهد و یا سرانجام ممکنست رابطه‌ای وجود داشته باشد ولی برای ما نامعلوم باشد." همین اندیشه را به صورت روشن تری"دیریکله"(1805-1859) ریاضیدان آلمانی، در سال 1837 آورد: "y تابعی از متغیر x در بازه ی a<=x<=b است به شرطی که هر مقدار x از این بازه، متناظر با مقدار معین و مشخصی از y باشد. در ضمن، این تناظر، می‌تواند به هر ترتیب دلخواهی باشد." همین تعریف به طور عمده، امروز برای آموزش تابع مورد قبول است. به تقریب به همین صورت هم تابع را در دبیرستان تعریف می‌کنند. با توجه به نظریه‌ی مجموعه‌ها می توان تابع را به صورت یک زوج مرتب تعریف کرد، به نحوی که بازای هرعضو اول این زوج مرتب، تنها یک عضو دوم وجود داشته باشد. ]1[

مقدمه

در منابع مختلف برای تابع تعریف‌های گوناگونی ذکر شده است. در فرهنگ لغت دهخدا نیز تعریفی برای تابع گفته شده که در عین سادگی بسیار کامل و قابل فهم می‌باشد.

تابع به معنای دنبال‌کننده و مطیع می‌باشد. هرگاه میان دو تغییرپذیر چنان بستگی وجود داشته باشد که تغییر یکی در دیگری تغییر به وجود آورد، نخستین را متغیر اصلی و دومی را تابع گویند. ]2[

اگر اندکی به پیرامون خود دقت کنیم میبینیم که در عمل نمونه‌هایی وجود دارد که مقدار کمیتی به مقدار کمیت دیگر وابسته است. مثلا درآمد یک فرد به ساعات کار آن بستگی دارد، تولید کار کارخانه‌ای وابسته به تعداد ماشینهای مورد مصرف بستگی دارد، حجم گازی با فشار ثابت به دمای گاز وابسته است، مقاومت کابل برق با طول ثابت به قطر کابل بستگی دارد و...

رابطه بین چنین کمیت‌هایی مفهوم تابع را می‌سازد.

 

4-11- تابع موج

تناقض‌هایی که بین آزمایشات در حوزه فیزیک اتمی و زیر اتمی و قوانین فیزیک کلاسیک وجود داشت باعث روی‌آوری فیزیک‌دانان به مکانیک کوانتومی شد. در حقیقت آزمایش با تئوری سازگاری نداشت و فیزیک کلاسیک نمیتوانست بسیای از پدیده‌های حوزه اتم را پیش‌بینی کند. از طرف دیگر دوگانگی در رفتار نور و الکترون‌ها که در آزمایش دو شکاف یانگ بوجود آمد علت اساسی تعریف تابع موج برای حرکتهای اتمی شد. بدین معنا که رفتار الکترون‌ها را بوسیله تابع موج گونه توضیح می‌دهیم. آنجائیکه الکترون رفتار ذره‌ای دارد، می‌گوییم تابع موج آن جای گزیده است و آنجا که رفتار موج گونه دارد، تابع موج آن گسترده و پخش شده است. باید دقت کرد که حرکت الکترون به صورت موج نیست و یا خودش نیز موج نیست بلکه ذره است. اما می‌توان رفتار و خصوصیات آن مانند انرژی، حضور در یک مکان و ... را بوسیله تابع موج توضیح داد.

هم چنین اصل عدم قطعیت باعث شده است که به طور یقین نتوان گفت که در یک زمان خاص الکترون در کجا قرار دارد. بلکه فقط می‌توان احتمال حضور آن در یک مکان را بررسی کرد. این احتمال از طریق تابع موج وابسته به الکترون بدست می‌آید.

 

یک نمونه تابع موج دوبعدی کوانتمی

تابع موج (به انگلیسی: Wave function) در مکانیک کوانتومی برای هر ذره یا سامانه فیزیکی، یک تابع مختلط می‌باشد که دربرگیرندهٔ حالات ممکن ذره یا سامانه در فضا است. تابع موج می‌تواند هم در فضای مکان و هم در فضای تکانه بدست آید که این دو فضا به‌وسیله تبدیل فوریه به یکدیگر وابسته می‌شوند. تابع موج بنابر مساله مورد بررسی در یکی از معادلات شناخته شده مکانیک کوانتومی (برای نمونه در حالت غیرنسبیتی در معادله شرودینگر) صدق می‌کند. تابع موج را معمولاً با ψ نشان می‌دهند. تابع موج را می‌توان به زبان ریاضی به صورت یک بردار مختلط که تعداد عناصر آن می‌تواند مشخص و یا بیشمار ویا به‌وسیله یک تابع مختلط که دارای متغیرهای حقیقی باشد نشان داد. تابع موج به صورت بردار مختلط با تعداد عناصر مشخص رامی توان به صورت: و با تعداد عناصر بیشمار به صورت: و به صورت تابع مختلط نشان داد. تابع موج یک موجود مختلط است و مفهوم فیزیکی ندارد. آنچیزی که برای ما قابل درک است کمیتی است حقیقی به نام چگالی احتمال که از حاصلضرب تابع موج در مزدوج خود بدست می‌آید و آنرا با P نشان می‌دهیم.

دیراک با تعریف و نمادگذاری فضاهای برا (bra) و کت (ket) فرمول‌نویسی و پیکربندی مکانیک کوانتومی را آسان نمود. تابع موج الکترون و یا هر ذره اتمی به تنهایی بیان کننده چیزیی نیست و مفهومی ندارد.به علت اصل عدم قطعیت به طور دقیق نمیتوان مکان الکترون، انرژی و... را مشخص کرد. در مکانیک کوانتومی تنها می توان از احتمال یک پدیده صحبت کرد.احتمال حضور الکترون در یک مکان خاص، احتمال بودن در تراز انرژی مخصوص،احتمال‌گذار از یک تراز به تراز دیگر و... . بر خلاف تئوری‌های پیشین در باره اتم که آن را به صورت یک هسته که الکترون‌ها و پروتون‌ها در اطراف آن چرخش می‌کردند فرض میکردند، در مکانیک کوانتومی الکترون در اطراف هسته قرار دارد، ولی نمی‌توان گفت که در کجا و در چه فاصله‌ای و در چه ترازی قرار دارد. بلکه با استفاده از پتانسیلی که الکترون در آن قرار دارد و حل معادله شرودینگر برای الکترون و بدست آوردن تابع موج حاکم بر رفتار الکترون، می‌توان بررسی کرد که احتمال حضور الکترون در فاصله به خصوصی از هسته و تراز انرژی آن جه قدر است. بنابراین باید تابع احتمال را بدست آورد. تابع احتمال در مکانیک کوانتومی از ضرب تابع موج در مختلط همان تابع بدست می آید.به عبارت بهتر باید بر روی تابع موج عمل مجذور مختلط انجام داد. دنیای مکانیک کوانتومی دنیای عملگرها است. عمل گر یک وسیله اندازه‌گیری در کوانتوم است. فرض می کنیم که می‌خواهیم بدانیم الکترون در چه تراز انرژی قرار دارد. برای این کار روی آن اندازه‌گیری از نوع انرژی انجام می‌دهیم. این عمل در فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی بدین صورت است که عملگر هامیلتونی سیستم (الکترون) که همان وسیله اندازه‌گیری برای انرژی است باید روی تابع موج سیستم (الکترون) اعمال شود که باید نتیجه این عمل به درستی تعبیر شود. اگر تابع موج سیستم (الکترون) بهنجار شده و تابع موج پایه سیستم باشد، آنگاه از اعمال عملگر هامیلتونی روی تابع موج الکترون دو قسمت مجزا بدست می‌آید. یک قسمت عددی با بعد انرژی است که به آن مقدار انتظاری انرژی گویند. قسمت دیگر همان تابع موج سیستم خواهد بود. اما تعبیر این جواب بدین شکل است که: احتمال اینکه الکترون در تراز انرژی بدست امده (مقدار انتظاری انرژی) باشد برابر است با مجذور مختلط کل جواب بدست آمده از اعمال عملگر هامیلتونی بر روی تابع موج.

 

4-16- تابع بزرگترین عدد صحیح یا جزء صحیح

بزرگترین عدد صحیحی که نابیشتر از عددی چون x باشد، بزرگترین عدد صحیح موجود در  xنامیده می‌شود نماد آن [x] است. تابعی مثل f(x)=[x] دارای دامنه -∞

منابع مورد استفاده

]1[درک ج. استرویک، (1366). تاریخ فشرده ریاضیات. (غلامرضا برادران خسروشاهی، حشمت‌الله کامرانی). نشر نو تهران.

]2[ فریدنیا، عزت‌الله. (1392). جزوه ریاضیات عمومی. دانشگاه جامع علمی کاربردی).

]3[ ریاضیات سال دوم آموزش متوسطه. ص 32.

]4[ لیت هولد، لوئیس. ریاضیات عمومی جلد اول، (پاریاب خلیل)، تهران. انتشارات پاریاب.

]5[ نیکوکار، مسعود. (1377). ریاضیات و کاربرد آن در مدیریت. نشر: گسترش علوم پایه.